Come sta evolvendo l’R0 in questi giorni

In questi giorni si sente spesso parlare di R0 (si legge Erre con zero) ovvero il “numero di riproduzione di base”. La nostra scelta, sin dal primo giorno, è stata quella di dedicargli addirittura l’apertura della sezione delle analisi. È un parametro che è bene monitorare costantemente perchè rappresenta il numero medio di infezioni secondarie prodotte da ciascun individuo infetto in una popolazione completamente suscettibile cioè mai venuta a contatto con il nuovo patogeno emergente (definizione dell’ISS). Questo parametro misura la potenziale trasmissibilità di una malattia infettiva.

Per esempio se l’R0 di una malattia infettiva è 2, significa che in media un singolo malato infetterà due persone. Quanto maggiore è il valore di R0 e tanto più elevato è il rischio di diffusione dell’epidemia. Se invece il valore di R0 fosse inferiore ad 1 ciò significa che l’epidemia può essere contenuta. In questi giorni ci stiamo avvicinando a questa soglia che segnerà un punto di svolta nella gestione dell’epidemia.

In questi giorni però abbiamo preso la decisione di modificare le nostre previsioni dell’indice R0 perchè in alcune condizioni la stima non era attendibile. A differenza di tutte le altre analisi pubblicate sul sito, fino alla giornata di ieri, l’indice era stimato utilizzando il modello SIR classico che ha una limitazione: non considera gli effetti del contenimento. Questa limitazione per tutte le altre analisi è stata superata con il modello SIR 2.0 che nei prossimi giorni vi descriveremo nel dettaglio. Per l’indice R0, invece, riteniamo di poter continuare ad utilizzare le stime del SIR classico se consideriamo solo un periodo temporale recente (e non tutti i dati dall’inizio dell’epidemia come facevamo precedentemente). In ogni caso, anche dopo questa modifica, la stima degli ultimi giorni rimane poco sopra il valore di 1 con una tendenza alla diminuzione. Ora proviamo a scendere più nel dettaglio tecnico della nuova definizione.

Definizione di R0

Nel modello SIR la seconda equazione regola l’andamento degli infetti attivi. Essa è data da:

(1)   \begin{equation*}\frac{dI}{dt} = I (\beta \frac{S}{N} - \gamma )\end{equation*}

dove S sono i suscettibili, N è la popolazione totale e beta e gamma sono i due parametri caratteristici del modello SIR. Il parametro R0, spesso citato in questi giorni, si ottiene combinando i precedenti parametri del modello SIR, come segue:

    $$R_0 = \frac{\frac{\beta S}{N}}{\gamma}$$

In particolare quando gli infetti sono pochi rispetto alla popolazione totale si ottiene che quasi tutta la popolazione è suscettibile, ossia $S \simeq N$. Quando tale ipotesi è vera possiamo semplificare la precedente equazione, ottenendo:

    $$R_0 \simeq \frac{\beta}{\gamma}$$

La condizione $S \simeq N$ è valida per la situazione italiana, poiché gli infetti sono dell’ordine di $10^5$ mentre la popolazione totale è dell’ordine di $6 \times 10^7$. Inoltre ciò rimarrebbe vero anche se ci fossero 10 asintomatici per ogni pazienti sintomatico, come appare possibile da studi recenti (vedi studio dell’Imperial College). Di conseguenze è lecito calcolare R0 usando la formula semplificata, evitando di includere S nel calcolo.

L’importanza del parametro R0 è dovuta al fatto che quando R0 < 1 gli infetti attivi diminuiscono, ossia il $dI/dt$ dell’equazione (1) assume segno negativo. Al momento $dI/dt$ è ancora positivo, poiché gli infetti attivi continuando leggermente ad aumentare. Siamo vicini al punto di versione ma al momento R0 > 1.

Come calcolare R0

Il modello SIR da solo non è in grado di fornire previsioni sull’andamento dell’epidemia. Il parametro R0 rimane costante fino a quando una parte consistente della popolazione non viene infettata. Ciò sarebbe in disaccordo con i dati che osserviamo. Per questo motivo su CoVstat_IT abbiamo implementato una versione chiamata SIR 2.0, in cui il parametro beta decade esponenzialmente nel tempo, in modo da includere gli effetti del contenimento.
Come possiamo calcolare R0 usando il SIR e il SIR 2.0 ? Ci sono diverse possibilità:

  • si può calcolare l’R0 istantaneo, osservando il $dI/dt$ dell’ultimo giorno. Tuttavia in questo modo R0 sarebbe estremamente sensibile alla variazione giornaliera e poco stabile nel tempo, fornendo un’indicazione poco precisa dell’andamento generale;
  • R0 medio, facendo un fit dei dati di un periodo temporale recente col modello SIR. Questo periodo non può essere troppo lungo, perché il SIR non può riprodurre la curvatura (la saturazione) nella curva degli infetti, fino a quando $I \ll N$. Una possibilità è usare un periodo fra i 5 e i 10 giorni, come mostrato in seguito. Questo fornisce una buona indicazione dell’andamento di R0;
  • R0 usando il SIR 2.0. Con questo metodo R0 seguirebbe l’andamento di beta, ossia:

        $$R_0 \sim e^{-t / \tau}$$

    dove $\tau \simeq 28$ giorni secondo i dati attuali. Ciò significa che beta diminuisce del 63% ogni 28 giorni. Sebbene questo metodo sia corretto, R0 in questo caso sarebbe fortemente legato all’assunzione fatta su beta.

Info Autore
Data Scientist , Apheris AI
Dottorato in Fisica presso il Gran Sasso Science Institute a l’Aquila, ho lavorato come ricercatore in Astrofisica presso il Deutsches Elektronen-Synchrotron (DESY) a Zeuthen, in Germania. Appassionato di Data Science e Machine Learning, ho partecipato a varie competizioni online su questi temi. Originario del Molise (Campobasso), attualmente vivo a Zeuthen e lavoro come Data Scientist presso Apheris AI a Berlino, dove mi occupo dello sviluppo di algoritmi di Machine Learning decentralizzato.
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PhD Student, Università degli Studi Milano Bicocca. Molisano. Sin da giovane ho la passione per il coding e per la rete. La mia ricerca si focalizza sulla statistica spaziale utilizzando big data non strutturati e dati web. Ho partecipato a progetti di ricerca internazionali in cui abbiamo provato a risolvere problemi complessi. Ho fondato l’associazione Data Network per la diffusione della data literacy.
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1 commento su “Come sta evolvendo l’R0 in questi giorni”

  1. Avatar

    Interessante.
    Potreste commentare sul legame tra R_0 e growth rate anche in termini di qualita’ della stima?
    Mi sembra che la stima di R_0 necessita la stima di gamma mentre la stima del growth-rate puo’ essere fatta direttamente a partire dai dati. In piu’ il growth rate fa un’ipotesi di modello a tempo discreto che mi sembra piu’ indicata vista la natura dei dati in questione.
    Grazie mille

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