Definizione matematica dell’R0

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Nel modello SIR la seconda equazione regola l’andamento degli infetti attivi. Essa è data da:

(1)   \begin{equation*}\frac{dI}{dt} = I (\beta \frac{S}{N} - \gamma )\end{equation*}

dove S sono i suscettibili, N è la popolazione totale e beta e gamma sono i due parametri caratteristici del modello SIR. Il parametro R0, spesso citato in questi giorni, si ottiene combinando i precedenti parametri del modello SIR, come segue:

    $$R_0 = \frac{\frac{\beta S}{N}}{\gamma}$$

In particolare quando gli infetti sono pochi rispetto alla popolazione totale si ottiene che quasi tutta la popolazione è suscettibile, ossia $S \simeq N$. Quando tale ipotesi è vera possiamo semplificare la precedente equazione, ottenendo:

    $$R_0 \simeq \frac{\beta}{\gamma}$$

La condizione  $S \simeq N$ è valida per la situazione italiana, poiché gli infetti sono dell’ordine di $10^5$ mentre la popolazione totale è dell’ordine di $6 \times 10^7$. Inoltre ciò rimarrebbe vero anche se ci fossero 10 asintomatici per ogni pazienti sintomatico, come appare possibile da studi recenti (vedi studio dell’Imperial College). Di conseguenze è lecito calcolare R0 usando la formula semplificata, evitando di includere S nel calcolo.

L’importanza del parametro R0 è dovuta al fatto che quando R0 < 1 gli infetti attivi diminuiscono, ossia il $dI/dt$ dell’equazione (1) assume segno negativo. Al momento $dI/dt$ è ancora positivo, poiché gli infetti attivi continuando leggermente ad aumentare. Siamo vicini al punto di versione ma al momento R0 > 1.

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