Definizione del SIR

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Per comprendere l’impatto del distanziamento sociale, l’autoisolamento e altre restrizioni, dobbiamo simulare la diffusione di un’epidemia. Per prima cosa introduciamo un semplice modello dinamico epidemico chiamato SIR (suscettibile, infetto, recuperato).

Il modello SIR (Kermack – McKendrick) è ritenuto il paradigma di riferimento per la descrizione matematica delle epidemie ed utilizzato da scienziati in tutto il mondo per spiegare le evoluzioni del COVID-19. Il modello è composto da 3 categorie: S per le persone suscettibili, I per le persone infette ed R per quelle rimosse (guariti + deceduti).

Il classico modello SIR è descritto da 3 equazioni differenziali ordinarie:

\frac{dS}{dt} &=& -\beta \frac{I S}{N} \

\frac{dI}{dt} & = & \beta \frac{I S}{N} - \gamma I

\frac{dR}{dt} & = & \gamma I

La condizione S + I + R = N, dove N è costante ed uguale alla popolazione totale, è valido in qualsiasi momento. Le tre equazioni sopra riportate possono essere interpretate in questo modo:

  • all’inizio dell’epidemia l’intera popolazione è suscettibile all’infezione(S). Se esiste una sola persona infetta, altre persone possono contrarre l’infezione, passando dala categoria S alla categoria I. La forza (velocità) della diffusione del virus è determinato dal parametro β;
  • il numero di persone infette aumenta quando le persone suscettibili vengono infettate. Dopo una periodo di tempo tipicamente pari a 1 / γ le persone infette che vanno nella terza categoria R;
  • la categoria R include la somma delle persone che si sono guarite o sono morte dopo l’infezione.
Fig.1 L’evoluzione di un’epidemia usando il modello SIR, con γ = 0,1 e β = 0,5
Fig.2 L’evoluzione di un’epidemia usando il modello SIR, con γ = 0,1 e β = 0,25

Nelle Fig. 1 e 2 mostriamo due diversi scenari della pandemia per dimostrare l’effetto di diversi valori di β. Entrambe le simulazioni iniziano con la condizione iniziale di 1 persona infetta in una popolazione totale di 1000 persone e fissando γ = 0.1 (ovvero durata tipica della malattia di 10 giorni). Nella simulazione 1 impostiamo β = 0,5 e sulla destra assumiamo β = 0,25, cioè imponiamo una misura diversa al distanziamento sociale imposto. Notiamo che nel riquadro di sinistra il picco delle persone infette arriva dopo le 20 giorni, con circa la metà della popolazione infetta. Sul pannello 2 il picco è spostato e arriva dopo 50 giorni e il numero di persone infette al picco è inferiore alla metà. Ciò dimostra l’importanza del distanziamento sociale: ridurre il parametro β significa ridurre il numero di persone infette al picco dell’epidemia. Ciò è indispensabile per evitare il collasso del sistema sanitario e in particolare le unità di terapia intensiva.

Nel modello SIR classico ha però alcune limitazioni: il parametro β è costante nel tempo, quindi non può essere considerato l’effetto prodotto da una quarantena. Quindi per poter prevedere in maniera più accurata il picco e soprattutto il valore assoluto degli infetti, necessario andare oltre il classico modello SIR.

Referenze

Hamer W. H. (1906), Epidemic diseases in England, Lancet, 1
Soper H. E. (1929), Interpretation of periodicity in disease prevalence, Journal of the Royal Statistical Society, A, 92, 34-73

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